Компютерне моделювання

• Модель (латиною modulus — міра, зразок, норма) — це прообраз, опис або зображення якогось об'єкта.

Моделлю може бути будь-який об'єкт, явище або мисленнєвий образ, за допомогою яких вивчають складніший об'єкт. Моделі використовують тоді, коли безпосередньо дослідити відповідні об'єкти-оригінали складно або й неможливо. Моделі використовують також для дослідження об'єктів, яких немає у наяності. Для кожної моделі існує її прототип (оригінал) — той об’єкт, для заміщення якого її призначено.

• Моделювання — це процес створення моделі.

Моделювати можна не лише наявні предмети, явища та процеси, але й абстракції, яких немає в реальності (модель невиявленої елементарної частинки); об’єкти, які лише планують створити (проект нової станції метрополітену); явища, які можуть і не відбутися (вибух на хімічному заводі). Моделювання здійснюють з метою пізнання властивостей об’єкта, тому термін моделювання застосовують ще й в іншому значенні: дослідження об’єктів за допомогою побудови й вивчення їхніх моделей.

Моделі поділяють на види різними способами: в залежності від призначення, фактора часу, способу реалізації тощо.

• За призначенням розрізняють моделі навчальні, дослідні, науково-технічні, імітаційні та інші.
• Навчальні моделі застосовуються для демонстрації та вивчення властивостей об’єкта-оригінала. Наприклад, на шкільних уроках географії використовують модель земної кулі — глобус, на уроках фізики — модель парового двигуна тощо. У підготовці водіїв транспортних засобів, машиністів, льотчиків використовують спеціальні моделі — тренажери, на яких вони відпрацьовують навички управління.

• Дослідні моделі широко застосовують при проектуванні механізмів, споруд тощо. Вивчення поведінки чи властивостей моделі дає можливість виявити й усунути помилки у проекті. Наприклад, архітектор створює макет майбутньої споруди, щоб уточнити всі її деталі, перш ніж розпочати реалізацію проекту.

• Науково-технічні моделі створюють для дослідження явищ і процесів. Моделювання дозволяє перенести їх вивчення з реальних умов у лабораторні. Наприклад, кульову блискавку відтворюють за допомогою штучно створених електричних розрядів високої напруги.

• Імітаційні моделі (імітувати означає підроблювати, наслідувати) застосовують у тих випадках, коли потрібно перевірити дію певних чинників непрямим способом. Наприклад, перед тим як запровадити у вжиток новий лікарський препарат, його випробовують на тваринах. Це імітаційний експеримент.

• За фактором часу розрізняють моделі статичні й динамічні.

• Статична модель відображає стан об’єкта у певний момент часу. Статичні моделі називають також структурними, бо вони характеризують будову й параметри об’єкта. Прикладами статичних моделей є моделі внутрішніх органів людини, які застосовуються при вивченні анатомії; моделі розподілу економічних ресурсів між країнами світу.

• Динамічна модель відтворює зміни об’єкта з плином часу або особливості функціонування об’єкта (тому динамічні моделі називають також функціональними). Прикладом динамічної моделі є модель броунівського руху молекул газу, яка дозволяє спостерігати їх переміщення й зіткнення в обмеженому просторі.

• За способом реалізації моделі поділяють на два види — матеріальні та інформаційні.

• Матеріальна модель (називають також предметна, натурна, фізична) — це певне реальне втілення прототипу. Наприклад, зменшена копія літака, опудало птаха, макет архітектурного ансамблю тощо.

• Інформаційна модель — це інформація про властивості та стан об’єкта, його взаємозв’язки із зовнішнім світом, призначена для проведення теоретичних досліджень.

Фізична карта України, рівняння хімічної реакції, математична функція, розповідь про береги Дніпра — це приклади подання інформаційної моделі. Як і матеріальні моделі, інформаційні моделі одного й того ж об’єкта будуть різні залежно від мети дослідження. Наприклад, інформаційна модель об’єкта «помідор» для постачальника міститиме дані про розміри, умови зберігання, фактори і терміни дозрівання, максимальні терміни зберігання тощо. А для фермера інформаційна модель цього самого об’єкта міститиме дані про час сіяння, регулярність прополювання і поливання, раціональне використання добрив тощо.

• За способом подання інформації інформаційні моделі поділяють на:

1. словесні (усні та письмові описи);
2. графічні (рисунки, креслення, піктограми, карти);
3. структурні (таблиці, графіки залежностей, діаграми, схеми);
4. алгоритмічні (правила, плани дій);
5. розрахункові (формули, рівняння, нерівності, функції);
6. спеціальні (хімічні формули й рівняння, нотні записи, записи шахових партій).

• Комп’ютерна модель — це інформаційна модель, реалізована з допомогою комп’ютера.

Комп’ютерна модель допомагає спостерігати й досліджувати явища й процеси у динаміці їх розгортання, здійснювати багаторазові випробування моделі, одержувати різноманітні кількісні показники в числовому або графічному поданні, зокрема такі, які вимагають виконання складних, численних або трудомістких розрахунків.

За допомогою комп’ютерного моделювання вивчаються об’єкти та явища, які неможливо, дорого або небезпечно відтворювати в реальних умовах. Це дозволяє не лише економити матеріальні ресурси, а й зберігати екологічні умови існування людини, уникати можливих шкідливих або руйнівних наслідків проведення випробувань. Комп’ютерне моделювання є унікальним інструментом пізнання швидкоплинних або надповільних процесів. Їх можна досліджувати на комп’ютері, розтягуючи чи стискуючи час або навіть зупиняючи його для вивчення певних фаз процесу. Моделювати й вивчати за допомогою комп’ютера можна й такі явища, які не відбувалися, або невідомо, чи відбудуться коли-небудь у реальному житті, — наприклад, зустріч нашої планети з небесним тілом.

• Основні етапи комп’ютерного моделювання

1. Постановка задачі та її аналіз.
2. Побудова інформаційної моделі.
3. Розробка методу й алгоритму дослідження моделі.
4. Розробка комп’ютерної моделі.
5. Проведення комп’ютерного експерименту.

Побудова інформаційної моделі — встановлення й опис взаємозалежностей між параметрами моделі:

• визначення всіх параметрів моделі й виявлення всіх взаємозв’язків між ними;
• оцінювання того, які з параметрів є істотними при побудові моделі, а якими можна нехтувати. Такий аналіз здійснюють з огляду на поставлену задачу з метою максимального спрощення моделі. Але спрощення не може бути надмірним, щоб модель не втратила адекватності;
• запровадження (при потребі) й використання системи умовних позначень, у яких здійснюють опис залежностей між параметрами моделі. У результаті отримують знакову інформаційну модель.

Побудуємо інформаційну модель для нашої задачі. Геометричні параметри споруд позначимо, як показано на рисунку вище. Вважатимемо, що рух каменя відбувається в одній площині, перпендикулярній до земної поверхні. Запровадимо у цій площині прямокутну систему координат:

• з початком координат у місці розташування стоп Робіна Гуда;
• з горизонтальною віссю абсцис Ox, спрямованою у напрямку кидання;
• з вертикальною віссю Oy, спрямованою вгору.

Початкову швидкість каменя позначимо через v, кут до горизонту, під яким Робін Гуд кидає камінь, позначимо через α. Знехтуємо опором повітря і залежністю прискорення вільного падіння g від висоти. Камінь вважатимемо матеріальною точкою, його траєкторію будемо визначати як залежність координат x, y від часу t. Робін Гуд кидає камінь з висоти свого зросту r, перебуваючи на відстані l₁ від стіни. На траєкторію каменя впливають початкова швидкість каменя v і кут α. Згідно із законами класичної механіки маємо:

        (1)      x = vt cos α;
        (2)      y = r + vt sin α – gt²/2.

Тут g = 9,81 м/c² — прискорення земного тяжіння. Рівняння (1–2) і є математичною моделлю задачі.

3. Розробка методу й алгоритму дослідження моделі — складання алгоритму дій для одержання потрібних результаті:

• з огляду на інформаційну модель добирають або розробляють метод одержання потрібних результатів;
• за вибраним методом складають детальний план розв’язання задачі, розробляються алгоритм одержання результатів.

Покажемо на прикладі розглядуваної задачі, що одну й ту саму модель можна досліджувати з принципово різних позицій.

Аналітичний підхід для розглядуваної задачі полягає у такому:

• виразити час польоту t через абсцису x:
  
  (3)      t = x / v cos α;
  
• виразити ординату точки траекторії через абсцису:
  
  (4)      y = r + x tg α – gx² / 2v² cos²α;
  
• визначити моменти часу досягнення абсцисою x тих значень, коли потрібно пролетіти певний отвір:
  
  (5)      t₁ = a₁ / v cos α;
  (6)      t₂ = (a₁ + a₂) / v cos α;
  (7)      t₃ = (a₁ + a₂ + a₃) / v cos α,
  
  щоб записати умови прольоту каменя з посланням у отвори:
  
  (8)      h₁ < r + a₁ tg α – g (a₁)² / 2v² cos²α < h₁ + b₁;
  (9)      h₁ < r + (a₁ + a₂) tg α – g (a₁ + a₂)² / 2v² cos²α < h₁ + b₁;
  (10)    h₂ < r + (a₁ + a₂ + a₃) tg α – g (a₁ + a₂ + a₃)² / 2v² cos²α < h₂ + b₂;
  
• визначити абсцису
  
  (11)      x* = tg α : 2(g / 2v² cos²α) = v² sin α cos α / g = v² sin 2α / 2g
  
  й ординату вершини параболи-траекторії:
  
  (12)      y* = r + v² tg²α cos²α / 2g = r + v² sin²α / 2g.
  
  Зауважимо, що при a₁ < x* < a₁ + a₂ має справджуватися така нерівність:
  
  (13)      y* < h₁ + b₁.

В основі виведення формули (12) лежать такі тотожності:

        (14)      aх² + bх + c = a (x² + 2х(b/2a) + (b/2a)²) + c – b²/4a = a (x + b/2a)² + c – b²/4a.

Як бачимо, вираз aх² + bх + c при від'ємному a набуває найбільшого значення

        (15)      (aх² + bх + c)_max = c – b²/4a

при

        (16)      x = – b/2a.
Альтернативою повністю аналітичного дослідження є відтворення процесів (наразі фізичних) з прототипом:

• обчислювати координати точок траекторії каменя (з певним кроком за часом);
• відобразити траєкторію каменя на креслені споруди;
• висновки про результат кидання каменя визначати наочно.

Примітка. Спокуса економити на розробці методу дослідження не така вже й приваблива і має насторожити. У подальшому вона зазвичай призводить до істотно більших витрат обчислювальних ресурсів. Саме це й маємо для розглядуваної моделі. Свого часу потужність радянських комп'ютерів була у 10–15 разів нижчою від потужності американських. Але глибше розроблені методи наближених обчислень допомагали розв'язати ті самі задачі, що й у США. Наприклад, розрахувати аеродинамічні властивості літака чи гідродинамічні властивості підводного човна.

4. Розробка комп’ютерної моделі — одержання комп’ютерної моделі, придатної для дослідження:

• вибір засобів реалізації моделі на комп’ютері;
• створення комп’ютерної моделі;
• перевірка правильності створеної комп’ютерної моделі.

Перевірку здійснюють для знаходження і вилучення помилок, допущених у при створенні моделі. Іноді може з’ясуватися, що помилку було припущено не на даному етапі, а раніше. Наприклад, невдало вибрано метод, зроблено надмірні спрощення при моделюванні тощо. У такому разі потрібно повернутися до відповідного етапу, внести потрібні корективи й повторити всі наступні кроки побудови й дослідження моделі. Для розглядуваної задачі комп’ютерну модель найзручніше будувати в середовищі опрацювання електронних таблиць, в інтегрованому середовищі програмування або у середовищі спеціалізованого математичного пакету.

5. Проведення комп’ютерного експерименту

Комп’ютерний експеримент — дослідження математичної моделі з допомогою комп'ютера, при якому за одними параметрами моделі обчислюють інші її параметри і на цій основі роблять висновки про властивості об’єкта, описані математичною моделлю.

Цей етап складається з таких дій:

• розробка плану дослідження;
• проведення комп’ютерного експерименту на базі створеної моделі;
• аналіз отриманих результатів.

Цей вид дослідження можна лише умовно віднести до експерименту, бо він відображає не власне природні явища чи процеси, а лише є чисельною реалізацією створеної математичної моделі. Результати проведеного експерименту характеризують властивості моделі, а не прототипу. При розбіжності результатів комп'ютерного експерименту і природничого експерименту з прототипом говорять про неадекватність (некоректність) математичної моделі.

У ході експерименту може виникнути потреба виправити план дослідження. Наприклад, поглибити його в деякому напрямку. Отримані результати можуть викликати сумніви, які вимагатимуть вибору іншого методу дослідження, уточнення моделі або навіть внесення змін у постановку задачі. І тоді весь процес починають знову…

Для розглядуваної задачі потрібно спланувати і провести серію спроб для різних відстаней від стіни й різних початкових швидкостей каменя. А саме: змінювати v, α і a₁ у певних проміжках з певним (сталим для кожного параметра) кроком при сталих значеннях інших параметрів. При цьому потрібно вести облік тих наборів значень змінних параметрів, які відповідають прийнятним траекторіям. Наприклад, для сталих a₁ подавати графік відношення v й α для прийнятних траекторій. Одержані результати дадуть нам підстави для висновку, чи має Робін Гуд шанс влучити у вікно, і якщо так, то як йому це зробити.

Після втомливих спостережень траекторій істотним полегшенням для дослідника стане перехід до використання співвідношень (3–13) з використанням саме інтегрованого середовища програмування. Але завжди потрібно бути готовим змінити плани дослідження.

Примітка. Далі для повноти викладу подано теорію квадратичної функції, яку згідно з чинною навчальною програмою, мають вивчати наприкінці 9 класу. Використання поданого матеріалу для ознайомлення на уроці чи при проведенні комп'ютерного експерименту в домашній роботі не є обов'язковим.

Використавши співвідношення:

        (17)      cos^–2α = tg²α + 1

і запровадивши позначення:

        (18)      u = tg α,

нерівності (8–10) можна перетворити на нерівності такого вигляду:

        (19)      au² + bu + c > 0

або

        (20)      au² + bu + c < 0,

у яких коефіцієнти a, b, c не залежать від α, u = tg α. Позначимо:

        (21)      D = b² – 4ac.

Маємо:

        (22)      au² + bu + c = a (u² + 2u(b/2a) + (b/2a)²) + c – b²/4a = a((x + b/2a)² – D/4a²).

При D < 0 знак виразу au² + bu + c не залежить від u і збігається зі знаком a:

        (23)      sign (au² + bu + c) = sign a.

При D = 0 маємо таке:

• при u = – b/2a      au² + bu + c = 0;
• при u ≠ – b/2a    справджується рівність (23).

При D > 0 маємо таке:

• визначені коренні квадратного тричлена u_± = (– b ± D^1/2)/2a
  — корені рівняння au² + bu + c = 0;
• існує розклад тричлена на множники:
  au² + bu + c = a (u – u_–)(u – u₊);
• знак квадратного тричлена au² + bu + c збігається зі знаком a при u < u_– або u₊ < u, тобто коли аргумент менший за менший корінь або більший за більший корінь квадратного тричлена;
• знак квадратного тричлена au² + bu + c протилежний до знаку a при u_– < u < u₊, тобто коли аргумент розташовано між коренями квадратного тричлена.

Таким чином, розв'язавши нерівності (8–10) відносно tg α, можна уникнути перебору значень α.